[Estas son mis notas  para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos, para quienes las publico. Adrián Faigón. afaigon@fi.uba.ar                               23/11/2007]

 

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Dinámica de la rotación - Cuerpo rígido.

 

Vamos a completar las leyes de conservación para sistemas de partículas con la correspondiente al momento angular. La postergación hasta este punto se debe a que presentamos con ella algunos elementos fundamentales para tratar el movimiento del cuerpo rígido.

 

Dinámica de la rotación de un conjunto de partículas

 

            Al igual que con las magnitudes extensivas tratadas anteriormente, P y E, definamos el momento angular de un sistema de partículas respecto de un punto, a la suma de los momentos de cada partícula componente respecto del mismo punto.

 

                        L = Σ li

 

Calculemos ahora la derivada temporal del momento L,

 

            dL/dt = d/dt Σ li = d/dt Σ ri x pi

 

(estamos tomando el orígen como el punto respecto del cual calculamos los li),

 

                        = Σ ri x pi + ri x pi

 

El primer término en la sumatoria cae pues velocidad y momento lineal de cada partícula son vectores paralelos. En el segundo reemplazamos pi por fi, la fuerza que actua sobre la partícula i, y ésta última la descomponemos en fuerzas exteriores fie, y fuerzas debidas a la interacción de la partícula i con las restantes partículas del sistema,

 

                        = Σ  ri x  (fie + Σj fji) = Σi  ri x  fie + Σi  ri x  Σj fji          .

 

Ahora desarrollamos el 2do sumando para mostrar que no contribuye (esto se puede intuir antes de hacer la matemática pues su anulación significa que las fuerzas interiores no pueden hacer girar al sistema). Comenzamos con la igualdad evidente

 

                        Σi  ri x  Σj fji = Σj  rj x  Σi fij

 

pues lo unico que se ha hecho es intercambiar i por j, y se suma sobre ambos. Entonces

 

                        Σi  ri x  Σj fji = 1/2 (Σi  ri x  Σj fji + Σj  rj x  Σi fij)

 

                                               = 1/2 Σij ( ri x  fji +  rj x  fij)

 

y usamos fji = - fij, acción y reacción para rescribir la última

 

                                               = 1/2 Σij ( ri - rj) x  fji

 

que se anula por ser producto vectorial de vectores paralelos pues fji tiene la dirección del vector que une ambos puntos. Retomando,

 

                                   dL/dt = Σi  ri x  fie = Σi  Mi = M

 

                                               dL/dt = M       ,

 

el momento de las fuerzas exteriores.

 

            Corolario: En ausencia de momento de fuerzas exteriores, el momento angular de un sistema de partículas se conserva.

 

Hay otro modo de llegar al mismo resultado, que interesa para posteriores desarrollos.

Vimos el teorema de conservación del momento lineal para un sistema de partículas, para el que se pedía que el espacio fuera homogéneo, con el significado de que todos los puntos del espacio tuvieran iguales propiedades mecánicas, lo que permitía afirmar que un desplazamiento del sistema como un todo no cambiaría la evolución del mismo, o equivalentemente no cambiaría el Lagrangiano. Algo completamente análogo lleva a demostrar la conservación del momento angular, para el cual debe pedirse que el espacio sea isótropo, o que todas las direcciones (y no los puntos) son equivalentes, de modo que el Lagrangiano no cambia ante una rotación del sistema en su conjunto. Para demostrar el teorema comencemos viendo como se expresa matemáticamente la rotación.

 

Vector diferencial de rotación

 

            Sea el vector r que a consecuencia de una rotación pequeña δφ alrededor del eje que señala la figura se convierte en r+δr, donde el modulo de δr es

 

                        δr = r.sin θ. δφ

 

                                   ,                                             

 

aproximando la secante por el arco. Cómo se ve, el miembro derecho tiene la forma del módulo de un producto vectorial que aprovecharemos para representar al diferencial de rotación por un vector que tenga la dirección del eje de rotación, el sentido correspondiente a la regla de la mano derecha y módulo δφ. Entonces,

 

                        δr = δφ x r                                         .

 

Teorema de conservación del momento angular de un sistema de partículas

 

H) El espacio es isótropo

T) El momento angular de un sistema de partículas se conserva.

D) Si el espacio es isótropo, el Lagrangiano del sistema de partículas no cambia ante una rotación del sistema en su conjunto. En particular no cambia ante una rotación diferencial:

 

                        0 = δ£ = Σi (∂£/ri . δri +..£/ri . δri)

 

Pero al tratarse de una rotación del sistema en su conjunto

 

                        δri = δφ x ri , y similarmente  δri = δφ x ri

además

 

                        £/ri = pi                   por definición de momento conjugado

y

                        £/ri   = pi                  por la ecuación de Lagrange.

 

Reemplazando todo en la sumatoria y usando permutaciones cíclicas (que no alteran el producto mixto) para poner δφ adelante y sacarlo de la sumatoria, resulta

 

                        0 = δφ . Σi (ri x pi  +  ri x pi)  .

 

Dada la arbitrariedad de δφ, debe anularse la sumatoria, donde se nota la derivada temporal de un producto, resultando

 

                        0 = d/dt Σi (ri x pi) = d/dt Σi li = dL/dt

o

                        L = cte                                   QQD.

                       

 

El cuerpo rígido como sistema de puntos

 

El cuerpo rígido puede ser considerado como un sistema de masas puntuales con las condiciones de vínculo adecuadas, que son las que representan la constancia de las distancias entre dos partículas i y j cualesquiera del sólido,

 

                        |ri - rj| - cteij = 0                                  .

 

Ahora podemos preguntarnos cuántos grados de libertad, o equivalentemente cuantas coordenadas independientes, se requieren para describir (determinar) la posición de un cuerpo rígido en el espacio. Para contestarla debemos contar cuántas ecuaciones como la última, independientes unas de otras, pueden escribirse. Restando ese número de 3N obtendremos el número de grados de libertad buscado... (pensarlo).

 Alternativamente, podemos pensar que 3 coordenadas determinan la posición de un punto A del cuerpo, 2 ángulos alcanzan para definir en qué dirección está orientado un segundo punto B.

 

FIGURA

 

Fijados así A y B el cuerpo solo puede rotar alrededor de la recta que une esos puntos. Otro ángulo, entonces, alcanza para fijar un tercer punto C que no pertenezca a esa recta, y ya está: con tres puntos no colineares fijos, el cuerpo está también fijo. Se requieren entonces 6 coordenadas, en el caso descripto 3 distancias y 3 ángulos.

Alternativamente, sobre esta misma idea, podemos pensar: la posición de 3 puntos no alineados (9 coordenadas) determina la posición y orientación del cuerpo. Pero esas nueve coordenadas están relacionadas por 3 ecuaciones de vínculo como la última, las 3 distancias entre los tres puntos. Ergo 6 grados de libertad.

 

 

 

 

 

Velocidad angular

 

            Llamemos R al vector posición de un punto elegido del cuerpo, y ai los vectores posición de los puntos materiales que componen el cuerpo respecto del punto elegido. Así,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                        ri = R + ai

 

y la velocidad de un punto cualquiera

 

                        vi = dri/dt = dR/dt + dai/dt

 

pero los ai, por ser posiciones relativas de puntos del sólido tienen módulo constante de modo que el dai es resultado de una rotación infinitesimal,

 

                        vi = dR/dt + (dφ x ai)/dt = dR/dt + ω x ai

 

donde ω== dφ/dt, es la velocidad angular instantánea del cuerpo.

Nos preguntamos si ω depende de la elección del punto R. Para contestar tomemos otro punto de referencia R', posicionado un A respecto de R. De modo que el mismo vector ri podrá escribirse

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                        ri = R' + a'i

 

y su velocidad

 

                        vi = dR'/dt + ω' x ai'

 

Si reescribo el segundo miembro en términos referidos a R, resulta

 

                        vi = dR/dt  + ω' x A + ω' x (ai - A)

 

que iguala a la primera expresión de vi (..NRO..) solo si ω=ω'. El significado de éste resultado es que la velocidad angular con que rota un cuerpo en el espacio es independiente de la descripción que se haga de su movimiento, es única y consiste en la velocidad con que cambia su orientación (o tal vez más claro es decir la orientación de una terna de ejes fija al cuerpo) respecto de una terna inercial.

 

El Tensor de Inercia

 

            La dinámica de la rotación está contenida en la ecuación dL/dt = M, que es el equivalente a Newton dp/dt = f para las rotaciones, y se deriva naturalmente de esta última.

Dado que en un cuerpo rígido las velocidades de los puntos materiales que lo forman, y que intervienen en el cálculo de L, están relacionadas con la velocidad angular w, será deseable escribir a L en función de w. Allí aparecerá el tensor de inercia.

Consideremos un sólido con un punto fijo (para concentrarnos en los movimientos de rotación), que tomaremos como origen de coordenadas. Partimos de la definición

 

                        L = Σ ri x pi = Σ mi ri x vi

 

 

y considerando que los ri, son  de módulo constante pues son vectores posición entre dos puntos del cuerpo, las velocidades serán solo por efecto de rotación. Asi

 

                                   L = Σ mi ri x (w x ri)                           .

 

Usamos ahora la identidad vectorial Ax(BxC)= B(A.C) - C(A.B), para llegar a

 

                                   L = Σ mi (w ri2 - ri  (w .ri))

 

Entenderemos mejor la expresión si escribimos separadamente cada componente,

 

            Lx = Σ mi (wx ri2 - xi  (w .ri))

 

            Lx = Σ mi (ri2 - xi2) wx - Σ mi xi yi wy                     - Σ mi xi zi wz

y, similarmente

            Ly = - Σ mi yi xi wx       + Σ mi (ri2 - yi2) wy         - Σ mi yi zi wz

 

            Lz = - Σ mi zi xi wx        - Σ mi zi yi wy                  + Σ mi (ri2 - zi2) wz

 

Así escrito se reconoce al vector L, como resultado de multiplicar una matriz por el vector w. La matriz es

 

                                  

                        Σ mi (ri2 - xi2)               - Σ mi xi yi                          - Σ mi xi zi

            I = (     - Σ mi yi xi                   Σ mi (ri2 - yi2)                    - Σ mi yi zi                    )    

                        - Σ mi zi xi                        - Σ mi zi yi                          Σ mi (ri2 - zi2)

 

y se la denomina tensor de inercia (a una matriz se la llama tensor por la independencia de un escalar asociado al mismo --en este caso la energía cinética-- del sistema de coordenadas en el cual se lo represente. Se diferencian así del mismo modo que una terna de numeros reales y un vector en el espacio tridimensional. El escalar asociado a los vectores es el producto interno, que es también independiente de la representación de los vectores).

Los elementos diagonales del tensor se denominan momentos de inercia y a los no diagonales --a veces-- productos de inercia. Como se ve por la simetría de estos últimos respecto de la diagonal, el tensor de inercia se representa por una matriz simétrica.

El elemento j,k de la matriz que representa el tensor de inercia puede escribirse en general

 

            Ijk = Σi mi (djk.ri2 - rij. rik)

 

donde el subíndice i identifica la partícula, y ri1= xi, ri2= yi, ri3= zi, y ri es el módulo de ri.

 

Si la distribución de masas fuese continua, y caracterizada, entonces por una densidad ρ(r), el elemento general j,k es

 

            Ijk = d3r ρ(r) (djk.r2 - rj. rk)

 

integrado sobre el volumen del cuerpo.

 

Ejemplo: rígido elemental

 

El cuerpo rígido elemental está constituido por dos masas a una distancia fija 2b. Supongamos que están unidas por una barra de masa despreciable y analicemos su rotación alrededor de una dirección fija arbitraria  que hacemos coincidir con el eje z de una terna fija en el espacio.

Es decir, podemos suponer la barra soldada a un eje, formando un ángulo θ con el mismo, que se mantiene en la dirección z mediante un par de bujes que le permiten girar. Vamos a calcular el vector momento angular de dicho movimiento.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Usamos

 

L = I w, y como w tiene solo componente z distinta de cero,

 

L = ( Ixz wz , Iyz wz, Izz wz)

 

            = w 2mb2(-sin θ cos φ cos θ, -sin θ sin φ cos θ, sin2 θ)

 

Observamos:

i) que el vector L proyecta en el plano x,y en la misma dirección que proyecta la barra (cos φ, sin φ), es decir está en el plano que contiene a la barra y al eje z.

ii) Las componentes en dicho plano, perpendicular y paralelo a z, van como (-cos θ, sin θ) --hemos factoreado sin θ fuera del vector--, es decir perpendicular a la barra cuya dirección en la parte positiva de z la da el versor (sin θ , cos θ).

iii) Mientras que la componente z de L se mantiene constante durante el movimiento, las componentes x e y  cambian dado que φ=w.t. Es decir, el vector L describe un cono alrededor de z y perpendicular a la barra durante el movimiento

iv) Si Lx y Ly varían en el tiempo, habrá cuplas (M=dL/dt) con esas mismas componentes responsables de dicha variación. Las cuplas se verían materializadas en nuestro esquema por las reacciones de los bujes sobre el eje para que éste mantenga su dirección. El vector momento de las fuerzas M, se obtiene derivando L,

 

                        M = w2 2mb2 sin θ (sin wt cos θ, - cos wt cos θ, 0)

 

M está entonces en el plano (x,y) y es normal al plano que contiene a la barra, el eje z y L.

 

Otros comentarios:

Esta clase de fuerzas o momentos que aparecen como resultado del movimiento --no están si el cuerpo está en reposo-- se denominan reacciones dinámicas.

L no está en la dirección de w  , y como se intuye, esto se debe a que w no está en un eje de simetría del cuerpo. Eso les pasa a las ruedas de autos desbalanceadas, por no estar la masa repartida simétricamente alrededor del eje, tienen un L que no está en dirección de w lo cual además de provocar un temblor en el andar, produce un desgaste adicional sobre los bujes por la reacción dinámica que genera. Los plomos que se agregan en el balanceo tienen el propósito de alinear el L con el w (!!).

 

Ejes principales

 

            Vimos al tratar nuestro rígido elemental que rotando alrededor del eje arbitrario que se eligió, resultó un vector momento angular que rotaba con el rígido, indicando la existencia de unos momentos de fuerza actuando para sostener ese dL/dt, ese movimiento. De nuestra experiencia sabemos que si lo hiciésemos girar alrededor de un eje perpendicular a la barra y que pasa por su punto  medio, no haría falta sostener al eje con bujes para evitar que se tuerza (estamos pensando en el movimiento en el espacio libre de gravedad). Ese eje es, por asi decirlo, un eje natural, y matemáticamente esto se expresa en que el vector L está alineado con w, entonces L no gira, entonces no hay dL/dt, no requiere momentos aplicados para sostener el movimiento.

            Cada cuerpo, veremos, tiene 3 de estos ejes, llamados ejes principales, cuya definición es: puesto a rotar el cuerpo alrededor de un eje principal, el momento angular L apunta en la misma dirección, es colinear, con w.

 

Obtención de los ejes principales

 

            De acuerdo a la definición dada, la dirección de un eje principal es la dirección de un w que cumpla

 

                                   L = I . w

donde I es un escalar o, en representación matricial, un escalar por la matriz identidad.   Además, siempre vale

 

                                   L = I  w

 

de modo que para w en la dirección de un eje principal vale

 

                        I  w =             I . w                 o          (I -I)  w = 0

 

donde se reconoce una ecuación de autovectores y autovalores, que expresa sintéticamente las siguientes 3 ecuaciones para las componentes de w

 

                        (Ixx-I) wx          +          Ixy wy               +          Ixz wz               = 0

                        Iyx      wx          +          (Iyy-I)wy           +          Iyz wz               = 0

                        Izy       wx         +          Iyz wy               +          (Izz-I)wz           = 0

 

Tratándose de un sistema lineal homogéneo, la existencia de soluciones no triviales (wx=wy=wz=0) requiere de la anulación del determinante de la matriz de los coeficientes (la matriz Ijk-I). Al escribir el determinante igual a 0 resulta una ecuación de 3er grado en I igualada a 0, y de allí tres raíces para I: I1, I2, I3, que son los autovalores de la ecuación. Reemplazado en el sistema I por I1 se obtiene una solución para w, el autovector, que llamaremos w1; reemplazando por I2 se obtiene  w2, y por I3, w3. Debe notarse que la simetría de la matriz de los coeficientes quita independencia a las ecuaciones por lo que las soluciones wi no son vectores completos sino direcciones (por ejemplo (w1x , w2x /w1x , w3x /w1x)). No podía ser de otro modo, siendo que las ecuaciones expresan nuestra pregunta: en qué dirección, puesto a rotar un cuerpo resulta L colinear con w?

 

Simetría y ejes principales

 

            Si un cuerpo presenta un eje de simetría (cilíndrica) dicho eje es un eje principal. En efecto, supongamos que la dirección de eje de simetría es la e3.  Entonces, la distribución de masas a lo largo de los ejes e1 y e2, que son normales a e3, es simétrica respecto del 0; los productos de inercia

 

            - Σ mi x1i x3i       y              - Σ mi x2i x3i     ,

 

donde x1i es la coordenada de la masa i sobre el eje 1, idem con 2 y 3, se anulan pues la misma masa aparece en x1 y en -x1 por ejemplo. Los ejes 1 y 2 son como se dijo, perpendiculares al 3, perpendiculares entre sí, y pasan por el centro de masas del cuerpo.

 

            Por motivos análogos, cada plano de simetría define un eje principal normal al plano y que pasa por el centro de masas.

 

Resolución del problema del rígido simple en ejes principales

 

            Por consideraciones de simetría un eje principal es la recta que une las dos masas (dirección 3) y los otros dos son cualquier par de rectas perpendiculares a la dirección 3, perpendiculares entre sí, y que pasan por el centro de masas (direcciones 1 y 2). Los momentos de inercia correspondientes son

 

            I1 = I2 = 2mb2  ,           I3 = 0   .

 

 

 

 

            Dada la libertad para elegir las direcciones 1 y 2, tomamos por ejemplo la 2 en el plano definido por la 3 y w, de modo que

 

                        w = (0, -w.sin θ, w.cos θ)

y

                        L = (I1.w1 , I2.w2 , I3.w3) = (0 , -I2.w.sin θ , 0)            ,

 

mostrando que el tratamiento es correcto, pues L dio, igual que antes, perpendicular al "cuerpo" y en el plano que contiene la barra y w. L es, en este referencial, constante y plantea el problema de cómo comparar con el dL /dt que resultó en el tratamiento anterior, y que daba cuenta de las reacciones de vínculo.

            Por supuesto, la derivada temporal del momento que aparece en la ecuación dinámica supone que el momento se "observa" (expresa) desde (en) un referencial inercial. También está claro que el referencial de eje principales, que está fijo al cuerpo en rotación no es un referencial inercial. Para hacer la derivada parcial de el último L obtenido, debemos escribirlo

 

                        L =  -I2.w.sin θ e2

 

donde e2 es el versor en la dirección 2, que se mueve respecto a un referencial fijo en el espacio. Luego

 

                        M = dL /dt =  -I2.w.sin θ.de2/dt

 

                                                = -I2.w.sin θ.(w x e2)

 

                                                = -I2.w.sin θ.(-w3. e1)

 

                                                = 2mb2.w2. sin θ.cos θ.e1

 

que tiene el mismo valor y dirección hallados anteriormente. Si se quisiera tener la dependencia temporal de M, basta con expresar  e1 en el referencial (x,y,z).

                       

 

La ecuación de Euler y sus consecuencias

           

            Lo hecho arriba es un caso particular de una expresión general debida a Euler que relaciona la derivada temporal de un vector en referencial rotante, con la correspondiente en referencial inercial: Escribiendo el vector en el referencial rotante

 

                        A= A1. e1 + A2. e2 + A3. e3

resulta

 

dA /dt|in = dA1/dt.e1 + A1.de1/dt + dA2/dt.e2 + A2.de2/dt + dA3/dt e3 + A3.de3/dt

 

o, haciendo uso de que los versores solo rotan,

 

dA /dt|in= dA1/dt.e1+ A1.wxe1 + dA2/dt.e2 + A2.wxe2 + dA3/dt e3 + A3.wxe3

           

y, reordenando,

dA /dt|in= dA1/dt.e1 + dA2/dt.e2 + dA3/dt e3 + wx A1e1 + wx A2e2 + wx A3e3

           

o, abreviadamente.

 

                        dA/dt|in = dA/dt|r+ w x A

 

que se conoce como ecuación de Euler. Haremos algunas aplicaciones de la misma

 

Movimiento general de un trompo en ausencia de fuerzas y momentos

           

            Consideraremos el movimiento de un cuerpo en el espacio libre de fuerzas. Además de una posible traslación del c.de m. con movimiento uniforme y rectilíneo, que es irrelevante, los movimientos de rotación se obtienen de aplicar la ecuación de Euler al vector L. En ausencia de momentos de fuerzas el miembro de la izquierda es cero, y el de la derecha se escribe, en ejes principales,

 

            I1 w1 = (I2-I3) w2 w3

            I2 w2 = (I3-I1) w3 w1

            I3 w3 = (I1-I2) w1 w2

 

            Estas ecuaciones se integran completamente resultando w(t) dadas las condiciones iniciales. El resultado general involucra funciones elípticas, pero si el cuerpo tiene un eje de simetría (es un trompo) la solución es sencilla e interpretable. Sea el eje de simetría el eje 3, luego I1=I2, que se usa para eliminar I2 y el sistema queda

 

            I1 w1 = (I1-I3) w2 w3

            I1 w2 = -(I1-I3) w3 w1

            I3 w3 = 0

 

            De la ultima w3=cte y las dos primeras pueden escribirse

 

            w1 =   Ω w2                             (a)

            w2 = - Ω w1                            (b)

con      Ω=(I1-I3)/I1 . w3                      (c)

 

            Derivando ahora la primera (a) y reemplazando en la segunda (b), resulta

 

            w 1 = - Ω2w1

 

que es armónica, de solución

 

            w1= w sin Ωt

 

y, derivando la ultima y usando (b)

 

            w2= w cos Ωt

 

 

Las últimas dos significan que el vector w, rota alrededor del eje e3 con una velocidad angular (llamada de precesión) Ω, de magnitud relativa a w3 igual a la diferencia relativa entre los dos momentos principales (ver expresión c) I3 e I1. Casos extremos son la esfera, con todos los I's iguales, para la que no hay precesión; y nuestro rígido elemental, con I3=0, de modo que la precesión es igual a w3.

 

.... ALGO SOBRE PRECESIÓN TERRESTRE

 

Mecánica en un referencial rotante

 

            Nos preguntamos cómo describe la dinámica de un punto material un observador que está en una calesita (nosotros sobre la tierra) que gira con velocidad angular Ω. La descripción desde un referencial inercial, es la de Newton

 

                        mai = mr )i = F

 

que en nuestro cuidadoso lenguaje cuando tratamos con referenciales que rotan (que aceleran en general) debe leerse: el producto masa por aceleración vista desde un referencial inercial es igual a la fuerza actuante sobre el cuerpo. Usemos ahora las transformaciones de Euler para vincular las derivadas temporales entre ambos referenciales, el inercial y el rotante, que suponemos comparten el origen. Derivamos primero el vector posición para obtener la relación entre las velocidades en ambos referenciales.

 

                        vi = dr/dt)i = dr/dt)r + Ω x r

o

                        vi = vr + Ω x r

 

donde vr  es   dr/dt)r , la velocidad de la partícula observada en el referencial rotante. Ahora la aceleración,

 

                        ai = dvi/dt)i

 

                                   =d (vr + Ω x r) /dt)r + Ω x (vr + Ω x r)

 

que, suponiendo Ω constante, es

 

                        ai =  ar + Ω x vr  + Ω x vr  + Ω x (Ω x r)

 

o, reacomodando, multiplicando por la masa, y usando Newton resulta

 

                        mar =  F - 2m Ω x vr  - m Ω x (Ω x r)

 

que dice que el observador en el referencial rotante ve al cuerpo moviéndose con una aceleración que se corresponde, si quisiera usar la fórmula de Newton olvidándose de la inercialidad de su referencial, con una "fuerza" igual a la fuerza real F, de interacción, modificada por dos términos, que en este esquema llamamos fuerzas de origen inercial, o fuerzas ficticias, que son  la fuerza de Coriolis el primero,

 

                        F*cor = - 2m Ω x vr

 

y la fuerza centrífuga el 2do.

                       

                        F*c = - m Ω x (Ω x r)

 

Péndulo de Foucault

 

            El péndulo de Foucault consiste en una masa grande (para que la inercia haga durar el movimiento pese a los rozamientos presentes) pendiendo de una cuerda larga (para que en pequeños ángulos de oscilación pueda considerarse el movimiento en el plano (x,y) y prescindir de la dirección z.

 

            Las ecuaciones para las componentes en el "plano" terrestre (tangente a la superficie terrestre) son aprox

 

                        mx + kx = 0

y         

                        my + ky = 0

 

con solución armónica que escribiremos en el plano complejo

 

                        x + iy = (X+iY) cos wt ,           w2 = k/m

 

La fuerza de Coriolis, para predecir lo que veremos desde nuestro referencial (rotante), F= -2m.w x v, tiene componentes

 

                        Fcx = 2mΩz y              y          Fcy = -2mΩz x

 

que agregadas a las ecuaciones de movimiento resultan en

 

                        mx - 2mΩz y + kx = 0

y

                        my + 2mΩz x + ky = 0

 

Multiplicamos la segunda por i y sumamos para obtener

 

                        m(x + i y ) + 2mΩz (  i x - y) + k (x+ i y) = 0

 

que tras el cambio de variable u=x+iy, se escribe

 

                        mu + 2mΩz i u + k u = 0

 

Proponemos para u una solución

 

                        u = A.exp (ist)

 

que reemplazada en la ecuación, resulta

 

                        s = -Ωz +/- (Ωz2 + w2)1/2 =… -Ωz -/+ w

 

es decir, que la solución general es

 

                        u(t) = exp (-iΩz t) . (A1.exp(iwt) + A2.exp(-iwt)) .

 

Como para Ω=0 esto debe reproducir la solución sin rotación (A1 = A2 = 1/2 (X+iY) siendo X e Y las amplitudes de la oscilación en cada dirección, la solución anterior se lee

 

                        x(t) + i y(t) = exp (-iΩz t) (X+iY)cos wt

 

es decir la solución sin rotar que vista desde el referencial rotante rota con velocidad angular -Ωz.

 

La formulación Lagrangiana de la dinámica de la rotación

 

Energía cinética

 

            Calculemos la energía cinética de un cuerpo en rotación. Por definición

 

            T =  Σ mi/2  vi2  = Σ mi/2 (V + w x  ai) . (V + w x  ai)

 

                        = Σ mi/2 V2 +  V. Σ mi vri + Σ mi/2 (w x  ai) . (w x  ai)

 

donde notamos ai la posición de la partícula i respecto de un punto del cuerpo R, que se mueve con velocidad V. La velocidad de la partícula respecto del punto R es vri = w x  ai . El término del medio en la sumatoria se anula si R es el centro de masas del cuerpo. Con esa elección, entonces, la energía cinética puede descomponerse en energía cinética de traslación (1er término) y energía cinética de rotación (2do término). Ocupémonos del término de rotación. Hacemos uso de la identidad vectorial relativa al producto mixto A.BxC = B.CxA, para escribirlo en forma

 

            Trot = Σ mi/2 w . (ai x (w x ai)) = Σ mi/2 w . (ai x vi) = Σ 1/2 w . (ai x mi vri)

 

                        = 1/2 w . Σ (ai x mi vri) = 1/2 w . Σ li  = 1/2 w . L

 

donde L es, entonces el momento angular del cuerpo respecto de su centro de masas, o momento intrínseco. Equivalentemente,

 

            T = 1/2 w . I  w

 

es decir, en las components de w,

 

            T =1/2 (wx . (Ixx wx + Ixy wy + Ixz wz) + wy . ( Iyx wx + ....) + wz . (   .... ).

 

En ejes principales la expresión se simplifica a

 

            T = 1/2 (I1 w12 + I2 w22 + I3 w32)

 

 

Energía potencial

 

            Por definición dV = -F.dr , si las fuerzas son conservativas. Descomponemos dr para escribir, para un cuerpo en rotación

 

                        dV = -Σ Fi . (dR + dφ x ai )

 

                                    = -(Σ Fi) . dR - dφ. (Σ ai x Fi)

 

 

donde se aplicó al segundo término la identidad vectorial relativa al producto mixto. Ejecutando ahora las sumatorias, se obtiene

 

                        dV =  -F . dR - M . dφ

 

es decir, una contribución debida a la traslación más otra debida a la rotación del cuerpo.

 

Las ecuaciones de Lagrange

 

            De la última expresión para la energía potencial, se derivan

 

            Fi = -∂V/∂Ri    y          Mi = -∂V/∂φi                         

 

A la vez, de las expresiones obtenidas para la energía cinética, es fácil ver que

 

            Pi = ∂T/∂Vi      y          Li = ∂T/∂wi                            

 

de modo que reemplazandoVi por Ri, y wi por φi, y considerando el Lagrangiano de las seis coordenadas y sus velocidades

 

                        £(Ri, Ri, φi, φi) = T - V           ,

 

 las ecuaciones de la dinámica de traslación y rotación,

 

            Pi = Fi             y          Li = Mi            ,

 

admiten la forma sintética

 

            d/dt (∂£/∂Ri) - ∂£/∂Ri =0        para los 3 Ri

y

            d/dt (∂£/∂φi) - ∂£/∂φi =0         para los 3 φi

 

es decir,

 

            d/dt (∂£/∂qi) - ∂£/∂qi =0         i=1 a 6

 

las ecuaciones de Lagrange para las 6 coordenadas generalizadas que describen al cuerpo rígido.

 

 

Ejemplo. El péndulo físico.

 

            Consideremos un cuerpo con un punto fijo a un eje horizontal que tendrá la dirección φ del ángulo de rotación, a una distancia R del centro de masas.

 

Su Lagrangiano se escribe

 

                        £ (φi, φi) = Ttr + Trot - V

 

La energía potencial se escribe V= Mgz, donde z es la altura del centro de masas, luego si  medimos φ a partir de la posición de equilibrio, será

 

                        z = -Rcos φ = -R(1-sin2 φ)1/2 ≈ -R(1- 1/2 φ2)

 

para pequeños ángulos. Descartando las constantes aditivas en el potencial,

 

 

            £  =1/2 M  φ 2 R2 + 1/2 (I1 φ 12 + I2 φ 22 + I3 φ 32) - 1/2 Mg Rφ2

 

escribiendo las componentes de φ en función de los ángulos αi que forman el eje, o φ con los ejes principales del cuerpo,  resulta

 

            £  = 1/2 [M R2 +  (I1 cos2α1 + I2 cos2α1 + I3 cos2α1)] φ 2 - 1/2 Mg Rφ2

 

Es decir, el Lagrangiano queda en función del módulo del ángulo φ y de su velocidad φ. Reconociendo en el corchete el momento de inercia del cuerpo I respecto al eje -- ahí están los distintos momentos "proyectados", y el término de Steiner sumados--, resulta

 

            £  = 1/2 I φ 2 - 1/2 Mg Rφ2

 

que corresponde a una oscilación armónica de frecuencia angular

 

                                   ω= (MgR/I) 1/2

 

que se reduce a ω= (g/R) 1/2 correspondiente al péndulo ideal, cuando los I1, I2, I3 sean 0, es decir I =MR2, que representa el caso del punto material. Dicho caso conduce a la frecuencia máxima puesto que cualquier otro da un momento de inercia mayor, de modo que un péndulo real siempre oscila con frecuencia inferior al péndulo ideal que tiene toda la masa concentrada en el centro de masa.

 

 

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