[Estas son mis notas  para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos, para quienes las publico. Adrián Faigón. afaigon@fi.uba.ar                    16/10/2007]

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Demostración del método de Lagrange

 

Habiendo ya verificado la utilidad y ventajas del método de Lagrange para plantear las ecuaciones de movimiento de situaciones diversas, así como su poder como herramienta teórica, por ejemplo en la demostración de las leyes de conservación, es un momento maduro para enseñar la demostración del método.

 

El camino para hacerlo pasará por las siguientes etapas

-Principio de los trabajos virtuales

-Principio de Dalembert

-Dalembert en coordenadas generalizadas

-Ecs. Lagrange.

 

Principio de los trabajos virtuales

 

El Principio de los trabajos virtuales establece para el equilibrio estático una condición distinta  de la usual (aunque derivada de la misma) que dice que la fuerza neta aplicada sobre cada cuerpo es nula.

Hay dos ideas básicas en este principio, en el sentido de hacer más sintética la condición de equilibrio:

1) que las fuerzas de vínculo no realizan trabajo neto sobre el sistema cuando el sistema de cuerpos se mueve constreñido por los vínculos. Esto es así porque los vínculos sólo limitan la dimensionalidad del sistema: o bien son normales a los desplazamientos de los cuerpos,  o bien tienen la dirección de los desplazamientos pero se anula la suma de los trabajos realizados sobre los cuerpos vinculados, como en el caso de una cuerda o elemento que mantenga la distancia entre los cuerpos constante. Si los desplazamientos tienen igual sentido, las fuerzas tendrán sentidos opuestos, y viceversa, como en el caso de una polea.

2) Que descripto el sistema en sus coordenadas generalizadas (coordenadas independientes de número igual al de grados de libertad del sistema),  el principio da lugar a una ecuación para cada coordenada generalizada, es decir un numero reducido respecto a las 3N (N:nro de cuerpos) que produce Fi=0, como veremos.

 

Para enunciarlo comenzamos definiendo desplazamientos virtuales dri como aquellos desplazamientos de los cuerpos del sistema, compatibles con los vínculos. Y trabajo virtual al

 

                        dW = S Fi. dri                                                           (1)

 

Entonces el Principio se enuncia simplemente:

Un sistema está en equilibrio cuando el trabajo virtual total de las fuerzas actuantes, sin contar las de vínculo, sobre sus cuerpos es cero.

 

Se puede llegar a la formulación del principio partiendo de la condición de equilibrio usual:

 

                        Fi = 0   para todo i.                                                     (2)

 

de donde resulta trivialmente que

 

                        dW = S Fi. dri = 0                                                     (3)      

 

La primer gracia se encuentra al separar primeramente las fuerzas actuantes en fuerzas de vinculo fi, y restantes  Fie , las exteriores o aplicadas[1], para escribir

 

                        dW = S (fiv + Fie). dri = 0       .                                 

 

Luego distribuir y recordar que las fuerzas de vínculo no realizan trabajo neto sobre el sistema, resultando:

 

                        dW = S  Fie. dri = 0                                                               (4)

 

La segunda gracia es la de expresar el principio en coordenadas generalizadas q1 ....qn, con n el grado de libertad del sistema, de modo que cada ri, es función de las nuevas coordenadas q's, en la forma

                       

                        ri = ri(q1,....,qn)                                                                       (5)

 

y, consecuentemente,

 

                        dri = Sj ri/qj . dqj     .                                                          (6)

 

El principio de trabajos virtuales toma, entonces la forma

 

                        dW = Si  Fie . Sj ri/qj . dqj               ,                                  (7)

 

o, reordenando convenientemente:

 

                        dW = Sj (Si  Fie . ri/qj) . dqj                                                               (8)

 

Las cantidades que están entre paréntesis, es decir los coeficientes que multiplican a los dqj en la sumatoria, deben anularse separadamente pues los dqj son ahora desplazamientos independientes. A esas cantidades se las llama fuerza generalizada Qj asociada a la variable qj,

 

                        Qj == (Si  Fie . ri/qj) .                                                          (9)

 

Así como las q's no tienen necesariamente dimensiones de distancia, tampoco las Q tienen necesariamente dimensiones de Fuerza, pero el producto de Qj con el desplazamiento dqj, es un trabajo al igual que el de Fi con dri de allí que sea natural el nombre de Fuerza generalizada asociada a la coordenada generalizada qj. En éstos términos, el  Principio de trabajos virtuales puede expresarse en la forma: Un sistema de cuerpos está en equilibrio cuando se anula cada una de las fuerzas generalizadas Qj que actúan sobre el mismo.

 

 

Principio de Dalembert

 

            La idea de Dalembert (1717-1783) fue utilizar la metodología del principio de trabajos virtuales, para aplicar a los problemas no estáticos sino dinámicos. Tan solo es necesario modificar el comienzo, y en lugar de decir

 

"para que un sistema se encuentre en equilibrio estático la Fza neta aplicada a cada cuerpo es cero, Fi=0 para todo i".

 

cambia por:

 

para que un sistema se encuentre en equilibrio dinámico la Fza neta aplicada a cada cuerpo menos la masa por aceleración del cuerpo es cero:

 

                        Fi - miai = 0     para todo i                                                      (10)

 

(En las versiones originales se le da un nombre de fuerza (inercial o dinámica) a -miai, y el parecido es mayor pues se lee, la fuerza neta, incluyendo la dinámica, es cero. No haremos acá cuestión de nombres, ni analizaremos el interesante asunto de la entidad de la fuerza inercial. Basta con reconocer en la ecuación anterior la 2da ley de Newton.)

 

A partir de acá se procede a igualar a cero el "trabajo virtual"

 

                        S (Fi - miai) . dri  =  0                                                             (11)

 

que es un resultado trivial de la condición (10); para luego separar las fuerzas de vínculo fiv de aquellas que no lo son Fie; distribuir el producto, y después de hacer notar que

 

                        Sfiv. dri = 0

 

por ser perpendiculares, o por cancelar en la sumatoria, concluir en

 

                        S (Fie - miai) . dri  =  0            ,                                              (12)

 

que difiere de la (11) en que las fuerzas de vínculo han desaparecido, simplificando la condición de "equilibrio dinámico" de donde saldrán las ecuaciones de movimiento. La ecuación (12) llamada también principio de Dalembert, tiene --igual que comentamos respecto del principio de los trabajos virtuales-- la primer gracia de hacer desaparecer las fuerzas de vínculo del tratamiento de los problemas dinámicos. La segunda gracia es formularla en coordenadas generalizadas para poder así anular cada término de la sumatoria separadamente.

 

Dalembert en coordenadas generalizadas

 

Sea (q1, ...., qn) un set de coordenadas que permite definir la configuración espacial del sistema y son independientes entre sí, esto es un set de coordenadas generalizadas. La posición en coordenadas cartesianas ri, de cada cuerpo i,  podrá expresarse en función de las nuevas ri = ri (q1, ...., qn), de modo tal que los dri que aparecen en (12) se expresarán

 

                        dri = Sj ri/qj . dqj                                                                (13).

 

Su reemplazo en (12) da dos sumatorias que analizaremos separadamente: La primera idéntica a la tratada arriba

 

                        Si Fie  . dri = Si Fie  . Sj ri/qj . dqj

 

                                               =  Sj (Si Fie .ri/qj) . dqj

 

La parte encerrada entre paréntesis, es la fuerza generalizada asociada a la coordenada qj, y que designamos Qj

 

                        Qj = = (Si Fie.ri/qj).

 

Así la sumatoria correspondiente a fuerzas es

 

                        Si Fie. dri = Sj Qj . dqj                                                (14)

 

 

Veremos el significado de las fuerzas generalizadas a través de un ejemplo:

.......

[o mejor poner el ejemplo en trabajos virtuales de modo de no perturbar esta demostración]

 

 

 

 

Ocupémonos ahora del término dinámico de la expresión (12) de Dalembert.

 

                                   Si  miai . dri  =  Si  midvi/dt . Sj ri/qj . dqj

 

o, intercambiando orden de sumatoria,

 

                                               = Sj  (Si  midvi/dt . ri/qj) . dqj          .

 

Desarrollemos ahora la suma sobre i, que está entre paréntesis

 

            Si  midvi/dt . ri/qj = Si  mi.d/dt (vi . ri/qj) - mivi . d/dt (ri/qj)     (15)

 

aplicando en camino inverso la regla de la derivada de un producto.

 

Veamos, porque lo vamos a usar, que

 

                        vi = dri/dt = Sj ri/qj . qj                                                       (16)

 

como resulta de derivar función de función, de modo que al derivar el miembro de la izquierda respecto de un qj en particular, el resultado es el coeficiente correspondiente

 

                        vi/qj = ri/qj                       .                                              (17)

 

El primer miembro de (17) va a reemplazar a ri/qj que aparece en el primer término del miembro derecho de (15). Pero antes de reescribir haremos un reemplazo adicional. La ultima derivada temporal en (15), por la misma justificación con que se escribió (16) es

 

                        d/dt (ri/qj) = Sk /qk (ri/qj) . qk

 

o, cambiando el orden de derivación, tras lo cual podemos sacar fuera de la sumatoria la derivación respecto de qj,

 

                                               = /qj (Sk ri/qk. qk)

 

                                               =  vi/qj

 

pues lo que está entre paréntesis, es exactamente vi. Reconstruyendo ahora sí (15), resulta

 

            Si  midvi/dt . ri/qj = Si  [mi.d/dt (vi . vi/qj) - mivi . vi/qj].          (20)

 

El objeto de toda esta maniobra es obtener en ambos términos cosas de la forma vi . dvi

que se reemplazan --como ya vimos en el teorema trabajo-energía-- por 1/2 dvi2. Así, y usando

 

                        Si mi . 1/2 . dvi2 = Si d (1/2 mi vi2) = d Si (1/2 mi vi2) = dT

 

con dT, el diferencial de energía cinética del sistema, la (20) se simplifica a

 

            Si  midvi/dt . ri/qj = d/dt (T/qj) - T/qj.                          (21)

 

La reconstrucción de Dalembert (12) en generalizadas, es entonces

 

                        Sj (Qj -  d/dt (T/qj) - T/qj). dqj = 0                                  (22)

 

y como los dqj son arbitrarios e independientes por tratarse de coordenadas generalizadas, sus coeficientes se anulan uno a uno para anular la sumatoria, y la condición de equilibrio dinámico, o ecuaciones de movimiento, son

 

                                   d/dt (T/qj) - T/qj = Qj                  para cada j       (23)

 

            El último paso para llegar a las ecuaciones de Lagrange es considerar fuerzas que derivan de un potencial. Antes de hacerlo es de notar, entonces, que las ecs de Dalembert en generalizadas escritas en (23) son más generales que las de Lagrange en cuanto son aplicables a fuerzas de cualquier tipo, sin restringirlas a las conservativas.

 

Lagrange

 

            Si las fuerzas derivan de un potencial, entonces las fuerzas generalizadas toman la forma

 

                        Qj = Si Fie .ri/qj =  Si -V/ri .ri/qj  = -  V/qj               (24)

 

La primer igualdad por definición, la segunda porque las fuerzas derivan de un potencial, la tercera por regla de la cadena en derivación.

 

            Reemplazando (24) en (23), se puede incorporar el término de fuerzas en la derivada respecto de qj en el miembro izq. y agregar el potencial también en la derivada respecto de qj sin cambiar el resultado por la independencia de V en los q, de modo de transformar (23) en

 

                                   d/dt ((T-V)/qj) - (T-V)/qj = 0                  para cada j       (25)

 

que es la ecuación de movimiento de Lagrange, una vez definido el lagrangiano

 

                                   L == T-V                    .                                                          (26)

 

 

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[1] La denominación de fuerzas exteriores o aplicadas da lugar a equivocaciones. Lo que se distingue con  fv y  Fe son fuerzas de vínculo (aquellas que simplemente limitan la dimensionalidad) de las que no son de vínculo que incluyen las aplicadas o exteriores pero también las fuerzas de interacción entre masas del sistema.