Álgebra 61.08, 61.11 y 81.02

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PROGRAMA ANALÍTICO

1. Espacios Vectoriales
Definición de espacio vectorial . Ejemplos. Subespacios. Combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal. Subespacio generado por un conjunto de vectores. Bases y dimensión. Coordenadas. Matriz de cambio de base.

2. Transformaciones lineales
Propiedades. Inyectividad y sobreyectividad de transformaciones lineales, núcleo e imagen. Inversa. Teorema de la dimensión y sus consecuencias. Representaciones matriciales.

3. Espacios vectoriales con producto interno
Definición de producto interno. Ejemplos más usuales en ingeniería. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Norma y distancia inducidas. Ortogonalidad. Bases ortogonales. Proyección ortogonal y mejor aproximación. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal. Descomposición QR normalizada y no normalizada. Concepto de solución por mínimos cuadrados. Ecuación normal. Regresión lineal. Mínimos cuadrados y descomposición QR.

4. Autovalores y autovectores de matrices
Propiedades básicas de los autovalores y autovectores de una matriz. Polinomio característico. Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor. Diagonalización de Matrices. Polinomios matriciales. Semejanza de matrices.

5. Matrices Hermíticas
Matrices ortogonales, simétricas y Hermíticas. Diagonalización ortogonal y unitaria. Formas cuadráticas. Teorema de los ejes principales, gráfico de conjuntos de nivel. Clasificación. Optimización con restricciones.

6. Descomposiciónn en valores singulares.
Valores singulares. Relación entre los valores singulares y el rango de la matriz. Descomposición en valores singulares completa y reducida. Solución por mínimos cuadrados mínimos de longitud mínima y matriz seudoinversa de Moore-Penrose.

7. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones y sistemas con coeficientes constantes. Operador D''+aD'+bI. Método de coeficientes indeterminados. Sistemas representados por matrices diagonalizables. Problema a valores iniciales.



 
 

PROGRAMA SINTETICO

- Espacios vectoriales con producto interno.
- Mejor aproximación. Mínimos cuadrados.
- Transformaciones lineales y matrices.
- Autovalores y autovectores. Diagonalización de matrices.
- Matrices Hermíticas y unitarias . Diagonalización ortogonal y unitaria.
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Actualizada por Valeria Machiunas el 13/03/04