<< Guía III-Ej. 21


Cuádricas, parametrizaciones para fiuba.φα‾  Por cuádricas se entiende una familia de superficies en R³ integrada por cinco géneros: el elipsoide, los dos paraboloides (elíptico e hiperbólico), los dos hiperboloides (de una hoja, de dos hojas), y sus degeneramientos, siendo los dos más importantes el cono (degeneramiento del género hiperboloide) y los cilindros. Las cuádricas se dividen también en 'cuádricas con centro' (elipsoides, hiperboloides, conos) y 'cuádricas sin centro' (parabolides, cilindros) según tengan un centro de simetría (único) o no. Una cuádricas se llama reglada si en su superficie se hallan incluidas rectas, llamadas generatrices: son regladas el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico, y trivialmente los degeneramientos en conos y cilindros; en cambio son no regladas, las cuádricas que no contienen en su superficie ninguna recta: el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas y el paraboloide elíptico.
Finalmente, los puntos de una cuádrica se clasifican en elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según que el plano tangente en el punto la corte en sólo un punto, en una recta, o en dos rectas. El elipsoide, el hiperboloide de dos hojas y el parabolide elíptico tienen todos sus puntos elípticos. El hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico tienen todos sus puntos hiperbólicos. El cono y los cilindros tienen todos sus puntos parabólicos (excepto el vértice del cono, donde no hay plano tangente). Se escribe la ecuación canónica de cada una de las cuádricas, señalando alguna característica saliente. Si la cuádrica se halla desplazada basta trasladar el sistema de ejes 0xyz al punto Po = (xo, yo, zo), lo que en la ecuación se traduce como el reemplazo de x por (x − xo), y por (y − yo), z por (z − zo).
Una caraterística notable de las cuádricas viene dada por la ecuación del plano tangente en un punto Po = (xo, yo, zo), cuya forma replica la de la cuádrica, tal como se precisa en cada uno de los casos que siguen.

  1. x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 (elipsoide),     x² + y² + z² = r² (esfera)
    • Es una cuádrica no reglada, con centro, su centro de simetría es el origen de coordenadas; todos sus puntos son elípticos.
    • La intersección con cualquier plano es una elipse (dejando de lado que sea un punto o un conjunto vacío).
    • Si dos de los semiejes son iguales, el elipsoide es de revolución (como una pelota re rugby).
    • Si los tres semiejes son iguales, se tiene una esfera de radio r centrada en el origen de coordenadas, de ecuación x² + y² + z² = r².
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es xo x/a² + yo y/b² + zo z/c² = 1
    • Una parametrización del elipsoide de ecuación x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1, es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a cos(u) sen(v), b sen(u) sen(v), c cos(v)), con D = [0, 2π) × [0, π]

  2. x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 (hiperboloide de una hoja, eje de simetría z, elipse de garganta x²/a² + y²/b² = 1)
    • Es una cuádrica reglada, sin centro, todos sus puntos son hiperbólicos.
    • La intersección con planos horizontales de ecuación z = β son elipses (de ecuación z = β, x²/a² + y²/b² = 1 + β²/c²).
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β o x = β son hipérbolas.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es xo x/a² + yo y/b² − zo z/c² = 1
    • Una parametrización del hiperboloide de una hoja de ecuación x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1, es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a cos(u) cosh(v), b sen(u) cosh(v), c senh(v)), con D = [0, 2π) ×R

  3. −x²/a² − y²/b² + z²/c² = 1 (hiperboloide de dos hojas, eje de simetría z, vértices en (0, 0, ±c), el signo atípico indica el eje de esimetría z)
    • Es una cu´drica no reglada, con centro de simetría en el origen de coordenadas, todos sus puntos son elípticos.
    • La intersección con planos horizontales de ecuación z = β son elipses si |β| > c (de ecuación z = β, x²/a² + y²/b² = − 1 + β²/c² ).
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β, o x = β, o y = β x, son hipérbolas.
    • Todo plano que contiene al eje z es un plano de simetría, y también el plano coordenado z = 0.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es − xo x/a² − yo y/b² + zo z/c² = 1
    • Una parametrización del hiperboloide de dos hojas de ecuación −x²/a² − y²/b² + z²/c² = 1 es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a cos(u) senh(v), b sen(u) senh(v), c cosh(v),), con D = [0, 2π) ×R

  4. z/c = x²/a² + y²/b² (Paraboloide elíptico, eje de simetría z, vértice en el origen de coordenadas)
    • Es una cuádrica sin centro, no reglada, todos sus puntos son elípticos.
    • La intersección con planos horizontales de ecuación z = β son elipses si β c > 0 (de ecuación z = β, x²/a² + y²/b² =β/c).
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β, o x = β, o y = β x, son parábolas.
    • Todo plano que contiene al eje z es un plano de simetría.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es z + zo = 2 (xo x/a² + yo y/b²).
    • Una parametrización del paraboloide elíptico de ecuación z/c = x²/a² + y²/b², es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a v cos(u) , b v sen(u), c v²), con D = [0, 2π) × [0, ∞)

  5. z/c = x²/a² − y²/b² (Paraboloide hiperbólico, punto silla en el origen de coordenadas)
    • Es una cuádrica reglada sin centro, todos sus puntos son hiperbólicos
    • La intersección con planos horizontales de ecuación z = β son hipérbolas (de ecuación z = β, x²/a² − y²/b² = β/c).
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β, o x = β, o y = β x, son parábolas.
    • La intersección con el plano coordenado de ecuación z = 0 es un par de rectas (el par de rectas de ecuación z = 0, |y/b| = |x/a|).
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es z + zo = 2 c (xo x/a² − yo y/b²).
    • Una parametrización del paraboloide hiperbólico de ecuación z/c = x²/a² − y²/b², es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a u , b v , c (u² − v²)), con D = R²
    • Otra parametrización del paraboloide hiperbólico de ecuación z/c = x²/a² − y²/b², es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a (u+v) , b (u− v) , 4c uv), con D = R²

  6. x²/a² + y²/b² = 1     (cilindro elíptico, generatriz paralela a z)
    • Es una cuádrica reglada, sin centro de simetría (único), todos sus puntos son parabólicos.
    • La intersección del cilindro con planos horizontales de ecuación z = β son elipses (las elipses de ecuación z = β, x²/a² + y²/b² = 1).
    • La intersección con planos verticales de ecuación x = β, son pares de rectas paralelas si |β| < a, una recta si |β| = a, un conjunto vacío si |β| > a.
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β, son pares de rectas paralelas si |β| < b, una recta si |β| = b, un conjunto vacío si |β| > b.
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = βx, son pares de rectas paralelas.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es xo x/a² + yo y/b² = 1.
    • Una parametrización del cilindro elíptico de ecuación x²/a² + y²/b² = 1, es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a cos(u), b sen(u), v), con D = [0, 2π) × R

  7. x²/a² − y²/b² = 1     (cilindro hiperbólico, generatriz paralela a z)
    • Es una cuádrica reglada, sin centro de simetría (único), todos sus puntos son parabólicos.
    • La intersección del cilindro con planos horizontales de ecuación z = β son hipérbolas (las hipérbolas de ecuación z = β, x²/a² − y²/b² = 1).
    • La intersección del cilindro con planos verticales de ecuación x = β, son pares de rectas paralelas si |β| > a, una recta si |β| = a, un conjunto vacío si |β| < a.
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β, o y = βx, son pares de rectas paralelas.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es xo x/a² − yo y/b² = 1.
    • Una parametrización del cilindro hiperbólico deecuación x²/a² − y²/b² = 1, es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a cosh(u), b senh(u), v), con D = R²

  8. y = a x², a ≠ 0,     (cilindro parabólico, generatriz paralela a z)
    • Es una cuádrica reglada, sin centro de simetría, todos sus puntos son parabólicos.
    • La intersección del cilindro con planos horizontales de ecuación z = β son parábolas (las parábolas de ecuación z = β, y = a x²).
    • La intersección del cilindro con planos verticales de ecuación x = β, es una recta.
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β, son pares de rectas paralelas si β a > 0, es una recta si β = 0, un conjunto vacío si a β < 0.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es y + yo = 2 a xo x.
    • Una parametrización del cilindro parabólico de ecuación y = a x², es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (u, a u², v), con D = R²

  9. x²/a² + y²/b² = z²/c² (cono, eje de simetría z, vértice en (0, 0, 0))
    • Es una cuádrica reglada, con centro, todos sus puntos son parabólicos (exceptuando el vértice).
    • La intersección con planos horizontales de ecuación z = β son elipses (de ecuación z = β, x²/a² + y²/b² = β²/c²).
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β o x = β son un par de rectas que se cortan en el vértice.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es xo x/a² + yo y/b² = zo z/c²
    • Una parametrización del cono de ecuación x²/a² + y²/b² = z²/c², es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a v cos(u), b v sen(u), c v), con D = [0, 2π) ×R

  10. z = (h/a) √(x² + y²), (cono circular de altura h y radio en la base a, eje de simetría z, vértice en (0, 0, 0))
    • La intersección con planos horizontales de ecuación z = β, con 0 < β < h, son circunferencias de ecuación z = β, x² + y² = (aβ/h)²
    • La intersección con planos verticales de ecuación y = β o x = β son pares de rectas que se cortan en el vértice.
    • La ecuación del plano tangente a un punto Po = (xo, yo, zo) de la superficie es xo x + yo y = (a/h)² zo z
    • Una parametrización del cono de ecuación x²/a² + y²/b² = z²/c², es T: D ⊂ R² →R³ tal que T(u, v) = (a v cos(u), a v sen(u), h v), con D = [0, 2π) ×[0, 1].
Del tema se pude leer en cualquiera de los textos que recomendamos; no es imposible que entre ustedes haya un alumno que tuviera la paciencia de leer un texto clásico, como Rey Pastor, J., Pi Calleja, P., & Trejo, C. (1968). Análisis Matemático II. Cálculo infinitesimal de varias variables. Aplicaciones (Séptima edición ed., Vol. II). Buenos Aires: Kapelusz. Allí encontrará siempre alguna observación o cosita interesante que le ampliará la posibilidad de saber de qué se está hablando, y le dará un plus de solvencia. El autor no quiere 'captar lectores', sólo está interesado en asegurarle a un estudiante un texto de calidad homogénea (alta). Detallo localmente doslugares donde se encuentran estas cosas, advirtiendo ni intentarlo, si la intención es hacer sólo turismo lector: nada se vería.
  1. Las cuádricas se encuentran en el capítulo XVIII, apartado §62, página 37, presentándose en §62.2 las que tienen centro de simetría (único), con dibujos hechos artesanalmente mostrando las líneas que interesa ver para comprender. Lo mismo puede decirse del §62.3 (sin centro, p. 43). En §62.4 (intersecciones, plano tangente), pueden leerse definiciones puramente geométricas. En §62.5 se tratan los degeneramientos, con muy buenas observaciones. En §62.6 nos enteramos de qué es una cuádrica reglada. Comprender esta sección es un plus. La sección §62.7 es sólo para exquisitos. En los ejercicios que se inician en la p. 54, verán, el autor se asegura que todo el que haya hecho una lectura superficial de su texto, lo abandone en el acto.
  2. En el capítulo XX, p. 239, apartado §72.se inicia (o prosigue) el tratamiento de las curvas y superficies. En §72.1 se tienen las curvas, cuyas derivadas se definen en §72.2, con sus propiedades en §72.3. En §72.6, p. 245, se muestran las parametrizaciones de las curvas, y en §72.7, p. 248, la parametrización de superficies, con las definiciones del plano tangente. El §73. es más denso, aparecen allí las definiciones del triedo principal y sus tres planos coordenados (osculador, normal, rectificante). El §72.6 es sólo para fans, con la aparición de un vector 'de culto': el vector de Darboux (entre amigos, el d-vector), un vector de propiedades extraordinarias, sólo comprensibles por quienes han llegado a creer que todo esto produce algún tipo de valor propio. En §72.8 se estudia el vector aceleración, en §72.9 los clarísimos conceptos de circunferencia y esfera osculatriz. Los ejercicios de p. 277, nuevamente, están para ahuyentar a un lector chanta que hubiese extraviado su camino en esas páginas.

Otro texto es Curtis, P. (1979). Cálculo de varias variables con álgebra lineal (Primera edición. Primera reimpresión [Original 1970: Multivariate Calculus with Linear Algebra] ed.). (M. C. Sangines de Salinas, & O. Mourut de Montppellier (revisora), Trads.) México D. F.: Limusa. Se trata de un texto que supone alguna formación elemental en álgebra lineal, aunque incluye secciones para los que no la tienen. Las cónicas y cuádricas son tratadas desde la perspectiva de las formas cuadráticas en el capítulo 5 (Matrices simétricas y formas cuadráticas), apartados 5.4 y 5.5, pp.211ss., Superfciies cuadráticas. Las superficies, en general, se tratan en el capítulo 10, apartado 10.2, p. 437. El nombre de superficie allí se adjudica al campo vectorial, y no a su conjunto imagen. Abunda en ejemplos, que se completan con los ejercicios de la sección, en p. 442.
Saludos cordiales, φα‾